フラクタル

• 関数の再帰定義
• Mandelbrot集合
• Julia集合 (自己平方フラクタル)

Mandelbrot集合

ある複素数 A に対して，次のような漸化式を計算します．nが無限に大きくなっても |z(n)|^2 が発散しないような複素数Aの集合をMandelbrot集合と呼びます．

z(0)   = 0.0
z(n+1) = z(n)*z(n) + A

複素平面をXY平面とし，この上にAをとります．z(n)が発散を始めるnの値 をZ座標としてプロットすればMandelbrot集合の3次元表示ができます．最初に 上の漸化式を再帰を使って定義します．これは，nをゼロから増加させていき， |z|^2がある数値(ここでは2としています)を越えたらその時のnを返すような 関数です．複素数Aによっては反復回数が非常に大きくなりますので，とりあ えずnの最大値を1000としておきます．

なおgnuplotでは，aを実部bを虚部とする複素数zは z={a,b}と表記します．複素数から実部・虚部を取り出すには，関数 real(z), imag(z) を使います．また，abs(z)でzの絶対値 が求まります．逆に実数から複素数を作る方法は無いので， complex(x,y)=x*{1,0}+y*{0,1}のように関数を定義します．

complex(x,y) = x*{1,0}+y*{0,1}
mandel(x,y,z,n) = (abs(z)>2.0 || n>=1000) ? \
n : mandel(x,y,z*z+complex(x,y),n+1)

x,yは複素平面での座標で，複素数Aを表します．zには漸化式z^2+Aが入り， nを0から最大1000まで変化させたときabs(z)が2.0を越えた時のnの値が関数の値 として返されます．この関数を呼ぶには，x,y 座標の他に，zの初期値{0,0}と nの初期値0が必要です．xとyの範囲を適当に与えたときの表示結果は次のよう になります．

gnuplot> set xrange [-1.5:0.5]
gnuplot> set yrange [-1:1]
gnuplot> set logscale z
gnuplot> set isosample 50
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> set contour
gnuplot> splot mandel(x,y,{0,0},0) notitle

普通Mandelbrot集合をCGで表示するときは，画像の各ピクセルを複素平面 に割り当てておき，そのピクセルに対して漸化式を計算します．計算値が発散 したらその反復回数Nに応じたカラーをそのピクセルに表示します．簡単なX Windowのプログラムで作成した2次元平面で のMandelbrot集合は右のようなものです．上の図の台地の部分が右の図では 黒に塗られている部分に対応します．

左の図のように，Mandelbrot集合の一部を拡大すると非常に複雑な構造を 見ることができます．ここではかなり細かな等高線を描いてフラクタルらしさ を表現して見ましたが，gnuplotのような線画ではこれくらいが限界で，CGで 遊ぶにはやはりちょっと無理のようです．新しいgnuplot ver.3.8/4.0では3次元で のカラー表示が強化されています，それを使うと もっと綺麗なものが描けます．

ここではオマケとして，X Windowで作ったMandelbrot集合のCGをお見せし ます．漸化式の反復回数に応じてRGBを適当に割り当てることで綺麗な絵を描 くことができます．