球面調和関数

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  [ver.4]

球面調和関数

極座標で表された球面調和関数 Y[lm](θ,φ)は次式で与えられます．

ここで，P[lm]はLegendreの陪関数です．lとmは整数で，l=0,1,2,3…の値
をとり，mは各lの値に対して m=-l,-l+1,…l-1,lの，計2l+1個の値を取るこ
とができます．この関数は，2乗してθとφで積分すると1になるように規格化
されています．積分区間はθは0〜π，φは0〜2πです．

gnuplotのparametric表示では，角度uがφと一致しますが，θの定
義は異なります．左の図から θ=π/2-vですので，この関係は，

cos(theta)=sin(v)
sin(theta)=cos(v)

となります．

球面調和関数の最も簡単なものはl=0,m=0の場合で，これは定数 1/sqrt(4π)
になります．これを2乗した|Y[00]|^2=1/4πも当然定数で，これは半径1/4πの
球です．関数は規格化されているので，この関数を全立体角(4π)で積分する
と1になります．gnuplotでこれを描くのは簡単で，
前項で使った方法で，その半径を変えるだけで
す．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> set angle degree
gnuplot> set urange [0:360]
gnuplot> set vrange [-90:90]
gnuplot> set isosample 36,18
gnuplot> set ticslevel 0
gnuplot> set size 0.65,1.0
gnuplot> a=1.0/(4*pi)
gnuplot> fx(u,v)=cos(u)*cos(v)
gnuplot> fy(u,v)=sin(u)*cos(v)
gnuplot> fz(v)=sin(v)
gnuplot> splot a*fx(u,v),a*fy(u,v),a*fz(v)

左がY[00]を自乗したグラフで，原点を中心に半径1/4πの球です．m=0なの
でexp(-imφ)の項は消え，φへの依存性はありません．球面調和関数は，mが
偶数の時は実関数ですが，mが奇数のときは虚部を持ちます．

次にl=1,m=0の関数Y[1,0]を表示します．Y[00]と同様，m=0なのでφの項
は消え，この関数の表式は Y(θ)=sqrt(3/4π)cosθ となります．上に書いて
あるとおり，cosθはsin(v)で与えられるので，この項をx,y,z座標にかけるこ
とでこの関数を表示できます．上と同様に|Y[10]|^2=3/4π cos^2θ を表示
します．

gnuplot> a=3.0/(4*pi)
gnuplot> g(v)=sin(v)*sin(v)
gnuplot> splot a*g(v)*fx(u,v),a*g(v)*fy(u,v),a*g(v)*fz(v)

変数uの範囲を[0:180]にして隠線処理すると，球面調和関数の断面を表示で
きます．

gnuplot> set urange [0:180]
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> splot a*g(v)*fx(u,v),a*g(v)*fy(u,v),a*g(v)*fz(v)