フラクタル

• 関数の再帰定義
• Mandelbrot集合
• Julia集合 (自己平方フラクタル)

関数の再帰定義

gnuplotでは関数を再帰的に定義することができます．再帰的定義とは，
関数の定義式の中にその関数自身が含まれているものです．例えば，整数 N
の階乗 N!=FAC(N)は FAC(N)=N*FAC(N-1) と書けますので，gnuplotでは次のよ
うに定義することができます．

gnuplot> fac(n) = n * fac(n-1)

この1行で変数Nを1つづ減少させるloopのようになりますが，このままで
はNは負の無限大まで変化する無限ループとなってしまいますので，ループを
止める工夫が必要です．これには3項演算子を用います．N=0になったら再帰を
止めるようにするには，次のようにNに関する条件式を付けます．

gnuplot> fac(n) = (n==0) ? 1 : n * fac(n-1)

等号右側の(n==0)が条件式で，Nが0に等しいときに真になり，
その時は疑問符？のすぐ右を実行します．偽の場合はコロン：の右側を実行す
るので，再び自分自身である関数fac(n)をcallします．この判定により，N=0
になった時点でそれ以上関数fac(n)をcallするのを停止します．

N!を計算するには，Nが整数でなければいけません．これにはgnuplotの関
数int()を使って引数nの端数を切り落とします．この結果，引数が実数であっ
ても，常に整数の階乗を計算します．より厳密にはNが正であるという制限も
ありますが，ここでは入れていません．

gnuplot> fac(x) = (int(x)==0) ? 1.0 : int(x) * fac(int(x)-1.0)

関数fac(x)の計算結果は，次のようになりました．

gnuplot> fac(x) = (int(x)==0) ? 1.0 : int(x) * fac(int(x)-1.0)
gnuplot> print fact(1)
1.0
gnuplot> print fact(5)
120.0
gnuplot> print fact(5.5)
120.0
gnuplot> print fact(20)
2.43290200817664e+18

N!の近似値はStirlingの公式で計算できることが知られています．

上で定義した関数fac(x)とStirlingの公式の結果を比較してみましょう．

gnuplot> stirling(x) = sqrt(2*pi*x) * x**x * exp(-x)
gnuplot> set xrange [1:15]
gnuplot> set yrange [1:1e+10]
gnuplot> set log y
gnuplot> set sample 15
gnuplot> plot stirling(x) notitle with lines,
>             fact(x)     notitle with points