球面調和関数

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媒介変数(parametric)表示

gnuplotで3次元関数を表示するには，変数 x,y を使って z=f(x,y)という 形でz座標を表す方法と，媒介変数(3次元の場合はu,v)を用いて，

x = f(u,v)
y = g(u,v)
z = h(u,v)

のように表現する方法があります．関数形f(x,y)が次のような簡単なものなら， それを最初に定義しておいて，splotします．

gnuplot> f(x,y)=sin(x)*cos(y)
gnuplot> splot f(x,y)

しかし極座標表示されている関数は，簡単に "z=" の形で表現できないので， その場合は媒介変数を用います．例えば，半径1の球面は x^2+y^2+z^2=1 なので， z=sqrt(1-x*x-y*y) もしくは z = -sqrt(1-x*x-y*y)となり，zの正負2つの関数が 必要です．

パラメータで球面を表現するには，半径 r が一定という条件を変数u,vで 表すだけです．uとvを下の図にある角度として，これらを0から360まで変化 させ，その間に動径の長さ r が変化しないようにします．

角度u,vと動径rを用いると，x,y,zの座標は次のよう に表すことができます．

x = r*cos(u)*cos(v)
y = r*sin(u)*cos(v)
z = r*sin(v)

球面はr=a=一定値なので，上の式の変数rを定数に 置き換えるだけです．a=1なら半径1の球面を表現します．

x = cos(u)*cos(v)
y = sin(u)*cos(v)
z = sin(v)

gnuplotで媒介変数を用いて球面を描くには，次のようにします．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> set angle degree
gnuplot> set urange [0:360]
gnuplot> set vrange [-90:90]
gnuplot> set isosample 72,36
gnuplot> set ticslevel 0
gnuplot> set size 0.7,1.0
gnuplot> a=1
gnuplot> splot a*cos(u)*cos(v),a*sin(u)*cos(v),a*sin(v)

角度の単位はdefaultではradですが，ちょっとメンドクサイのでこれを「度」 にしておき，変数u,vの範囲を0から360度まで変化させます． set size で縦横の比率を変えていますが，これは表示が球らしく見 えるように適当に与えたもので，意味はありません．これをしないと縦が 潰れた饅頭型になります．

表示のメッシュの細かさは， set isosample で調整します．与え る数字が大きくなると，メッシュは細かくなります．最初の数字はuの数で， 経度に対応する線の数が変わります．2番目はvの数で，緯度の線が変化し ます．

上の式は少々長くて扱いにくいのですが，このような場合には予め関数を 定義しておくと便利です．

gnuplot> fx(u,v)=cos(u)*cos(v)
gnuplot> fy(u,v)=sin(u)*cos(v)
gnuplot> fz(v)=sin(v)
gnuplot> splot a*fx(u,v),a*fy(u,v),a*fz(v)