gnuplot入門

• 基本の基本編
• 数値計算編
• 実験データ編
• 関数表示編
  • 関数の定義
  • 関数値
  • 最小自乗法
  • Postscriptで出力
• 生活編
• スタイル一覧

gnuplot 入門 — 関数表示編

関数の定義

式で書けるような関数であれば，gnuplotはその式を計算して表示すること
ができます．「式で書ける」というのは，例えばf(x)=a*x+b のような形で
書けることを表し，微分や積分などを含むものはgnuplotだけでは計算でき
ません．gnuplotは三角関数やBessel関数，Gamma関数等，多くの関数を内
部に持っており，それら自身，あるいはそれらを組み合わせたグラフを表
示することができます．

関数のグラフそのものを利用することは(数学の授業目的以外には)少ないと
思います(何かあるかもしれません．あったら教えてください)．gnuplotの
関数機能の威力が最も発揮されるのは，データへの関数当てはめ(データ
フィッティング)，つまり最小自乗法です．実験データを，直線等の単純な
解析曲線で近似することがしばしばありますが，gnuplotを使えば非線形関
数の当てはめも簡単に行うことができます．この章では関数の定義の方法
と，その関数に含まれるパラメータに対する最小自乗法を説明します．

次式で表される，Lorentz型関数と 1/sqrt(x) の和の関数を表示してみます．
式に含まれるa,b,c,dの4つの変数は，実験データから求められるものとし
ます．

gnuplotで関数を定義するには，FortranやCなどのプログラミングと全く同
じように式を書きます．下の例の
f(x)=c/((x-a)*(x-a)+b)+d/sqrt(x) が，上の関数を定義してい
る部分です． (x-a)の2自乗の部分は，Fortran風に
(x-a)**2 と書くこともできます．変数 a,b,c,d は任意ですが，とり
あえず適当な数値を与えています．

gnuplot> a=0.25
gnuplot> b=0.02
gnuplot> c=0.05
gnuplot> d=0.1
gnuplot> f(x)=c/((x-a)*(x-a)+b)+d/sqrt(x)
gnuplot> set xrange [0:1]
gnuplot> set yrange [0:4]
gnuplot> plot f(x)

関数値を求める

gnuplotはユーザが定義した式を内部で計算しますが，グラフを表示するだけでなく，
数値を直接表示することもできます．あるX座標の値を求めるには，print
コマンドを用います．式に含まれるパラメータ(a,b,c,d)を変えれば，関数値も
変化します．なお，計算は倍精度で行われます．

gnuplot> print f(0.25)
2.7
gnuplot> print f(0.4)
1.33458447124371
gnuplot> a=0.4
gnuplot> print f(0.4)
2.65811388300842

計算された関数値をスプレッドシート等に取り込んで利用したいこともあり
ます．数値を表にして出力したいなら，特殊なterminal， table
を用います． set output でファイルを指定すれば，
計算結果はそのファイルに書き込まれます．

gnuplot> set term table
Terminal type set to 'table'
gnuplot> plot f(x)
#Curve 0, 100 points
#x y type
0 0 u
0.010101 1.63972 i
0.020202 1.39031 i
0.030303 1.30688 i
....

0.979798 0.191506 i
0.989899 0.188622 i
1 0.185837 i

gnuplot> set output "calc.plt"
gnuplot> replot

最小自乗法でパラメータを求める

パラメータ a,b,c,dに対し，実験データに基づいて最適値を求めます．データ
はファイル exp.dat に用意しておきます．

2.5000E-03 3.0420E+00 6.47E-01
3.5000E-03 2.5700E+00 4.37E-01
4.5000E-03 2.3020E+00 2.53E-01
...

7.0000E-01 2.7420E-01 2.14E-03
7.5000E-01 2.5680E-01 1.81E-03
8.0000E-01 2.4630E-01 1.59E-03

データファイルには，(x,y,z)の組が1行に書かれています．X,Y座標に加え
て，Yの誤差Zが3カラム目に与えられています．誤差は絶対誤差で，データ
Yと同じ単位を持ちます．例えば，上の1行目で，Yが3.04cmなら，誤差は
0.647cmといった具合です．誤差の逆数が，各データ点の重みとなります．
誤差が無ければ，全てのデータは同じ重みを持つものと解釈されます．

まずはデータと関数を同時に重ねてプロットします．
実験データ編や数値計算編で述べたように，
軸名等を適宜調整しています．

gnuplot> set xlabel "Energy [MeV]"
gnuplot> set ylabel "Cross Section [b]"
gnuplot> set xtics 0.1
gnuplot> set ytics 0.5
gnuplot> plot f(x) title "Lorentzan",
> "exp.dat" using 1:2:3 title "experiment" with yerrors

上で，パラメータ a,b,c,d は適当に与えたと書きましたが，実はこのデー
タに対して大体の数値を決めたものです．aはLorentz型のピーク位置に相
当しますが，この実験データの図から，大体0.25としました．bの平方根は
ピークの幅に対応します．図から幅は0.1程度，その平方が0.01ですが，
ちょっと大きめにして0.02を入れてみました．

gnuplotを使って最小自乗法をするのはとても簡単です． fit コ
マンドを用い，求めたいパラメータを via というオプションに
続けて書くだけです．但し，この関数のような非線形関数を使って多くの
パラメータを同時にフィットには，初期値に注意する必要があります．初
期値が最適値から非常に離れている場合は，最小自乗解を求めるのが難し
くなります．上の数値をそのまま使って最小自乗法を適用すると，次のよ
うになります．

gnuplot> fit f(x) "exp.dat" using 1:2:3 via a,b,c,d


Iteration 0
WSSR        : 96618.1           delta(WSSR)/WSSR   : 0
delta(WSSR) : 0                 limit for stopping : 1e-05
lambda    : 1150.73

initial set of free parameter values

...

After 17 iterations the fit converged.
final sum of squares of residuals : 3341.93
rel. change during last iteration : -5.29173e-06

degrees of freedom (ndf) : 47
rms of residuals      (stdfit) = sqrt(WSSR/ndf)      : 8.43237
variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 71.1049

Final set of parameters            Asymptotic Standard Error
=======================            ==========================

a               = 0.26191          +/- 0.005759     (2.199%)
b               = 0.00251445       +/- 0.0008358    (33.24%)
c               = 0.00541346       +/- 0.0009206    (17.01%)
d               = 0.182469         +/- 0.007329     (4.016%)


correlation matrix of the fit parameters:

a      b      c      d
a               1.000
b               0.042  1.000
c              -0.229  0.783  1.000
d               0.210 -0.538 -0.768  1.000
gnuplot> replot

このように，Yの値が小さい部分以外はフィッティングがあまり良くありません．
これは定義したフィッティング関数が，このデータに対してあまり良くなかったことに
起因します．ピークの形状はLorentzianで良さそうですので， d/sqrt(x) の部分
を，新しいパラメータ e を使って d*x**e のように修正し，その最適値を
gnuplotで求めてみましょう．eの初期値は-0.5としておきます．

gnuplot> e=-0.5
gnuplot> f(x)=c/((x-a)*(x-a)+b)+d*x**e
gnuplot> fit f(x) "exp.dat" using 1:2:3 via a,b,c,d,e

...
Final set of parameters            Asymptotic Standard Error
=======================            ==========================

a               = 0.25029          +/- 0.002106     (0.8412%)
b               = 0.00197707       +/- 0.0002747    (13.89%)
c               = 0.00550098       +/- 0.0003662    (6.657%)
d               = 0.21537          +/- 0.003743     (1.738%)
e               = -0.358371        +/- 0.0115       (3.208%)


correlation matrix of the fit parameters:

a      b      c      d      e
a               1.000
b               0.021  1.000
c              -0.078  0.788  1.000
d              -0.110 -0.384 -0.500  1.000
e              -0.304  0.198  0.335  0.381  1.000
gnuplot> replot

Best fitまではあと一歩といった感じですね．a=0.24くらいに固定して
おいて， via b,c,d,eのように a 以外をサーチすると，見た目はもう少し
良くなりますが，χ^2は大きくなってしまいます．

Postscriptで出力する

実験データ編のように，出来上がった図を
Postscriptにします．実験データには実線で7番のシンボル○を割り当て，関数には
太めの点線を割り当てます．

gnuplot> set linestyle 1 lt 1 pt 7
gnuplot> set linestyle 2 lt 2 lw 3
gnuplot> set size 0.6,0.6
gnuplot> set term postscript eps enhanced color
Terminal type set to 'postscript'
Options are 'eps enhanced color dashed defaultplex "Helvetica" 14'
gnuplot> set output "exp.ps"
gnuplot> plot"exp.dat" using 1:2:3 title "experiment" with yerrors ls 1,
>        f(x) title "Lorentzan" with line ls 2

[3.8/4.0] Ver.3.8以降のgnuplotの場合は，線種を以下のように定義します．

gnuplot> set style line 1 lt 1 pt 7
gnuplot> set style line 2 lt 2 lw 3