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媒介変数表示のあれこれ

媒介変数表示について．

gnuplotで2次元関数を表示するときは，y=f(x)という形でy座標を表しますが，
媒介変数tを用いて．

x = f(t)
y = g(t)

のように媒介変数表示することもできます．この形式を用いることで，複雑
な関数をgnuplotに表示させることが可能になります．なお，2つの変数
u,vを用いて3 次元の曲面を表現する方法は
球面調和関数の項 で
説明しています．

媒介変数を用いてグラフを描くには，まず set parametric を用
いて，関数が媒介変数表示されていることを明示します． plot
に続けて，x座標となる関数f(t)とy座標のg(t)を， plot
f(t),g(t) のように与えます．

垂直線の描き方．

最も単純かつy=f(x)という関数型で表現できないのが，x=const.という垂直
の線です．この縦線は媒介変数tを用いると，

x=const
y=t

と書き，tを適当な範囲で変化させた場合に相当します．tの
範囲は set trange で設定できます．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> const=3
gnuplot> set trange [1:4]
gnuplot> set xrange [0:5]
gnuplot> set yrange [0:5]
gnuplot> plot const,t

この例ではx=3の所に垂直線を描いています． set trange [1:4]
としていますので，線分のy座標は1から4までとなっています．もし
trangeを設定しないなら，グラフの表示領域一杯に線が引かれま
す．

円，正多角形の描き方．

円の媒介変数表示は，

x=cos(t)
y=sin(t)

で与えられ，tを0から2πまで変化させれば円が描けます．縦横比は，
綺麗な円になるように，固定しています．tの範囲は，
plotコマンドのオプションで与えています．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> set size square
gnuplot> set xrange [-1:1]
gnuplot> set yrange [-1:1]
gnuplot> plot [0:2*pi] cos(t),sin(t)

上の図では，変数tは連続的に変化しているように見えますが，実際
にはtはある頻度で変化し，その変化の程度は set samples
で決まります．defaultは100ですが， set samples 8 とす
れば，gnuplotは0から2πの範囲で8つのtを発生してグラフを表示
し，結果として円は正七角形になります．つまり，正N角形を描きたければ，
set samples N+1とすれば良いことになります．

2次元関数の媒介変数表示は極座標で表示された
関数を表示するのに適しています．2次元極座標では変数として半径
rと偏角thetaが用いられますが，このthetaにパラ
メータtを使います．半径rは角度の関数とし，r(t)
とtを用いると，任意の(x,y)座標は，次式の関係から計算できます．

x=r(t)*cos(t)
y=r(t)*sin(t)

円はr(t)=const.の特殊な例です．円の半径をtに比例するように変
化させれば，渦巻になりますね．

gnuplot> set xrange [-10*pi:10*pi]
gnuplot> set yrange [-10*pi:10*pi]
gnuplot> plot [0:10*pi] t*cos(t),t*sin(t)

以下の例はr(t)=const*(1+cos(t))として描かれるCardioidです．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> r(t) = 1+cos(t)
gnuplot> plot [0:2*pi] r(t)*cos(t),r(t)*sin(t)

X軸とY軸を入れ換える．

関数表示は普通 y=f(x) と書かれますが，媒介変数を用いると x=f(y)のグ
ラフを表示することができます．y=tと考え，xを媒介変数tの関数
f(t) で表現します．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> c=2*pi
gnuplot> set size square
gnuplot> set trange [-c:c]
gnuplot> set xrange [-c:c]
gnuplot> set yrange [-c:c]
gnuplot> plot c*sin(t),t with lines, t,c*cos(t) with impulses

2つのグラフを重ねて表示しています．一つは y=2pi*cos(x)で，緑の縞模様で
表示しました．もう一つは x=f(t)=2pi*sin(y)で赤の実線です．

with impulse は，グラフ上の点からY=0の軸に垂直に足を降ろし
ます．ここの例で最初の赤の実線 x=2pi*sin(y) に対して with
impulses を使っても，やはり垂直線(縦縞)になります．